Question

（2013•資陽）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點A、C、D作拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），與x軸的另一交點為E，連結(jié)CE，點A、B、D的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（3，0）、（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知拋物線的對稱軸l交x軸于點F，交線段CD于點K，點M、N分別是直線l和x軸上的動點，連結(jié)MN，當(dāng)線段MN恰好被BC垂直平分時，求點N的坐標(biāo)；
（3）在滿足（2）的條件下，過點M作一條直線，使之將四邊形AECD的面積分為3：4的兩部分，求出該直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求點C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）連結(jié)BD交對稱軸于G，過G作GN⊥BC于H，交x軸于N，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式，根據(jù)拋物線對稱軸公式可求對稱軸，由此即可求出點N的坐標(biāo)；
（3）過點M作直線交x軸于點P₁，分點P在對稱軸的左側(cè)，點P在對稱軸的右側(cè)，兩種情況討論即可求出直線的解析式．

解答：解：（1）∵點A、B、D的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（3，0）、（0，4），且四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=5，
∴點C的坐標(biāo)為（5，4），
∵過點A、C、D作拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

4a-2b+c=0 25a+5b+c=4 c=4

，
解得

a=- 2 7 b= 10 7 c=4

．
故拋物線的解析式為y=-

2

7

x²+

10

7

x+4．

（2）連結(jié)BD交對稱軸于G，
在Rt△OBD中，易求BD=5，
∴CD=BD，則∠DCB=∠DBC，
又∵∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
過G作GN⊥BC于H，交x軸于N，
易證GH=HN，
∴點G與點M重合，
故直線BD的解析式y(tǒng)=-

4

3

x+4    
根據(jù)拋物線可知對稱軸方程為x=

5

2

，
則點M的坐標(biāo)為（

5

2

，

2

3

），即GF=

2

3

，BF=

1

2

，
∴BM=

FM2+FB2

=

5

6

，
又∵M(jìn)N被BC垂直平分，
∴BM=BN=

5

6

，
∴點N的坐標(biāo)為（

23

6

，0）；

（3）過點M作直線交x軸于點P₁，
易求四邊形AECD的面積為28，四邊形ABCD的面積為20，
由“四邊形AECD的面積分為3：4”可知直線P₁M必與線段CD相交，
設(shè)交點為Q₁，四邊形AP₁Q₁D的面積為S₁，四邊形P₁ECQ₁的面積為S₂，點P₁的坐標(biāo)為（a，0），
假設(shè)點P在對稱軸的左側(cè)，則P₁F=

5

2

-a，P₁E=7-a，
由△MKQ₁∽△MFP₁，得

MK

Q1K

=

FM

FP1

，
易求Q₁K=5P₁F=5（

5

2

-a），
∴CQ₁=

5

2

-5（

5

2

-a）=5a-10，
∴S₂=

1

2

（5a-10+7-a）×4=28×

3

7

，
解得：a=

9

4

，
根據(jù)P₁（

9

4

，0），M（

5

2

，

2

3

）可求直線P₁M的解析式為y=

8

3

x-6，
若點P在對稱軸的右側(cè)，則直線P₂M的解析式為y=-

8

3

x+

22

3

．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，拋物線對稱軸公式，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．