Question

【題目】對于二次函數y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在實數x0，使得當x=x0，函數y=x0，則稱x0是函數y的一個不動點，

（1）當a=1，b=﹣2時，求函數y的不動點；

（2）對任意實數b，函數y恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數y的不動點為﹣1和3；（2）0＜a＜1．

【解析】

試題分析：（1）先確定二次函數解析式為y=x2﹣x﹣3，根據x0是函數y的一個不動點的定義，把（x0，x0）代入得x02﹣x0﹣3=x0，然后解此一元二次方程即可；

（2）根據x0是函數y的一個不動點的定義得到ax02+（b+1）x0+（b﹣1）=x0，整理得ax02+bx0+（b﹣1）=0，則根據判別式的意義得到△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，即b2﹣4ab+4a＞0，把b2﹣4ab+4a看作b的二次函數，由于對任意實數b，b2﹣4ab+4a＞0成立，則（4a）2﹣44a＜0，然后解此不等式即可．

解：（1）當a=1，b=﹣2時，二次函數解析式為y=x2﹣x﹣3，

把（x0，x0）代入得x02﹣x0﹣3=x0，解得x0=﹣1或x0=3，

所以函數y的不動點為﹣1和3；

（2）因為y=x0，

所以ax02+（b+1）x0+（b﹣1）=x0，

即ax02+bx0+（b﹣1）=0，

因為函數y恒有兩個相異的不動點，

所以此方程有兩個不相等的實數解，

所以△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，

即b2﹣4ab+4a＞0，

而對任意實數b，b2﹣4ab+4a＞0成立，

所以（4a）2﹣44a＜0，

解得0＜a＜1．