Question

在平面直角坐標系xOy中，已知關于x的二次函數y=x²+（k-1）x+2k-1的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，其中k是一元二次方程p²-p-2=0的根，且k＜0．
（1）求這個二次函數的解析式及A、B兩點的坐標；
（2）若直線l：y=mx（m≠0）與線段BC交于點D（點D不與點B、C重合），則是否存在這樣的直線l，使得以B、O、D為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出該直線的解析式及點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由一元二次方程的解可知K值，從而可得二次函數的解析式，當y=0時，所得x的值就是A，B兩點橫坐標．
（2）準確運用二次函數的圖象和性質，結合相似三角形對應線段的比例關系，可求出D點的坐標．

解答：解：（1）∵k是方程p²-p-2=0的根，
∴k=-1，或k=2．
又k＜0，
∴k=-1．
∴此二次函數的解析式為：y=x²-2x-3．
令y=0得x₁=-1，x₂=3
∵點A在點B的左側
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）假設滿足條件的直線l存在
過點D作DE⊥x軸于點E
∵點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，-3）
∴AB=4，OB=OC=3，∠OBC=45°
∴BC=3

2

要使以B、O、D為頂點的三角形與△ABC相似，已有∠OBD=∠ABC，
則只需

OB

AB

=

DB

CB

①，或

OB

CB

=

DB

AB

②成立即可．
①當

OB

AB

=

DB

CB

時
有BD=

OB•BC

AB

=

9 2

4

．
在Rt△BDE中，
DE=BD•sin45°=

9

4

，BE=BD•cos45°=

9

4

∴OE=OB-BE=3-

9

4

=

3

4

．
∵點D在x軸的下方，
∴點D的坐標為（

3

4

，-

9

4

）．
將點D的坐標代入l：y=mx（m≠0）中，求得m=-3
∴滿足條件的直線l的函數解析式為y=-3x．

②當

OB

BC

=

DB

AB

時
有BD=

OB•AB

BC

=2

2

同理可得：BE=DE=2，OE=OB-BE=3-2=1
∵點D在x軸下方
∴點D的坐標為（1，-2）．
將點D的坐標代入y=mx（m≠0）中，求得m=-2
∴滿足條件的直線l的函數解析式為y=-2x．
∴綜上所述滿足條件的直線l的解析式是：y=-3x或y=-2x；
點D的坐標為（

3

4

，-

9

4

）或（1，-2）．

點評：本題要求數形結合，靈活運用相似三角形的判定定理，求出D點坐標，然后求出直線解析式．綜合性較強，需要學生有較強的分析理解能力．