Question

【題目】如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為 Q（2，﹣1），且與 y 軸交于點 C（0，3）， 與 x 軸交于 A、B 兩點（點 A 在點 B 的右側），點 P 是拋物線上的一動點，從點 C 沿拋物線向 點 A 運動（點 P 與 A 不重合），過點 P 作 PD∥y 軸，交 AC 于點 D．

（1）求該拋物線的函數關系式及 A、B 兩點的坐標；

（2）求點 P 在運動的過程中，線段 PD 的最大值；

（3）若點 P 與點 Q 重合，點 E 在 x 軸上，點 F 在拋物線上，問是否存在以 A，P，E，F 為頂 點的平行四邊形？若存在，直接寫出點 F 的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y = x - 4x + 3，A (3，0)，B (1，0) ；（2） ；（3） (，1) ， ( ，1) ．

【解析】

（1）已知拋物線的頂點坐標，可將拋物線的解析式設為頂點式，然后將函數圖象經過的C點坐標代入上式中，即可求出拋物線的解析式，令y=0，求出兩根，即可得出A、B的坐標；

（2）用待定系數法求出直線AC的解析式，設D（x，﹣x+3），則P（x，x﹣4x+3），表示出PD的長，利用二次函數的性質即可解答；

（3）當點 P 的坐標為 P（2，﹣1）（即頂點 Q）時，分兩種情況討論：①以 AP 為邊進行構造平行四邊形；②以 AP 為對角線進行構造平行四邊形．

（1）∵拋物線的頂點為Q（2，﹣1），∴設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，將C（0，3）代入上式，得：　3=a（0﹣2）2﹣1，解得：a=1，∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．

令y=0，得：x2﹣4x+3=0，解得：x1=1，x2=3．

∵點A在點B的右邊，∴A（3，0），B（1，0）；

（2）設直線 AC 的函數關系式為 y=mx+n，將 A（3，0），C（0，3）代入上式得：，解得： ，∴y=﹣x+3．

∵D 在 y=﹣x+3 上，P 在 y=x2﹣4x+3 上，且 PD∥y 軸，∴設D（x，﹣x+3），則P（x，x﹣4x+3），∴PD=﹣x+3－（x2﹣4x+3）= －x2+3x=，∴當 x = 時，PD 取得最大值為．

（3）當點 P 的坐標為 P（2，﹣1）（即頂點 Q）時：

①以 AP 為邊進行構造平行四邊形．平移直線 AP 交 x 軸于點 E，交拋物線于 F．

∵P（2，﹣1），∴可設 F（x，1），∴x﹣4x+3=1，= ，=，∴符合條件的 F 點有兩個，即 F1（，1），F2（，1）．

②以 AP 為對角線進行構造平行四邊形，不存在這種情況，舍去．

綜上所述：符合條件的 F 點有兩個，即 （ ，1），（，1）．