Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點A的坐標為（-3，0），若將經過A、C兩點的直線y=kx+b沿y軸向下平移3個單位后恰好經過原點，且拋物線的對稱軸是直線x=-2．
（1）求直線AC及拋物線的函數表達式；
（2）如果P是線段AC上一點，設△ABP、△BPC的面積分別為S_△ABP、S_△BPC，且S_△ABP：S_△BPC=2：3，求點P的坐標；
（3）設⊙Q的半徑為1，圓心Q在拋物線上運動，則在運動過程中是否存在⊙Q與坐標軸相切的情況？若存在，求出圓心Q的坐標；若不存在，請說明理由．并探究：若設⊙Q的半徑為r，圓心Q在拋物線上運動，則當r取何值時，⊙Q與兩坐軸同時相切．

Answer 1

分析：（1）根據“過A、C兩點的直線y=kx+b沿y軸向下平移3個單位后恰好經過原點”，即可得到c-3=0，由此可得到C點的坐標，根據A、C的坐標即可求出直線AC的解析式；根據拋物線的對稱軸及A、C的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）由于△ABP和△BPC等高不等底，那么它們的面積比等于底邊的比，由此可求出AP、PC的比例關系，過P作x軸的垂線，通過構建的相似三角形的相似比即可求出P點的坐標；
（3）①此題要分成兩種情況討論：
一、⊙Q與x軸相切，可設出Q點的橫坐標，根據拋物線的解析式表示出它的縱坐標，若⊙Q與x軸相切，那么Q點的縱坐標的絕對值即為⊙Q的半徑1，由此可列方程求出Q點的坐標；
二、⊙Q與y軸相切，方法同一；
②若⊙Q與x、y軸都相切，那么Q點的橫、縱坐標的絕對值相等，可據此列方程求出Q點的坐標，進而可得到⊙Q的半徑．

解答：解：（1）∵y=kx+m沿y軸向下平移3個單位后恰好經過原點，
∴m=3，C（0，3）．
將A（-3，0）代入y=kx+3，
得-3k+3=0．
解得k=1．
∴直線AC的函數表達式為y=x+3．
∵拋物線的對稱軸是直線x=-2
∴

9a-3b+c=0 - b 2a =-2 c=3

，
解得

a=1 b=4 c=3

；
∴拋物線的函數表達式為y=x²+4x+3；

（2）如圖，過點B作BD⊥AC于點D．
∵S_△ABP：S_△BPC=2：3，
∴

1

2

AP•BD：

1

2

PC•BD=2：3
∴AP：PC=2：3．
過點P作PE⊥x軸于點E，
∵PE∥CO，
∴△APE∽△ACO，
∴

PE

CO

=

AP

AC

=

2

5

．
∴PE=

2

5

OC=

6

5

，
∴

6

5

=x+3，
解得-

9

5

∴點P的坐標為(-

9

5

，

6

5

)；

（3）（Ⅰ）假設⊙Q在運動過程中，存在⊙Q與坐標軸相切的情況．
設點Q的坐標為（x₀，y₀）．
①當⊙Q與y軸相切時，有|x₀|=1，即x₀=±1．
當x₀=-1時，得y₀=（-1）²+4×（-1）+3=0，∴Q₁（-1，0）
當x₀=1時，得y₀=1²+4×1+3=8，∴Q₂（1，8）
②當⊙Q與x軸相切時，有|y₀|=1，即y₀=±1
當y₀=-1時，得-1=x₀²+4x₀+3，
即x₀²+4x₀+4=0，解得x₀=-2，
∴Q₃（-2，-1）
當y₀=1時，得1=x₀²+4x₀+3，
即x₀²+4x₀+2=0，解得x0=-2±

2

，
∴Q4(-2-

2

，1)，Q5(-2+

2

，1)．
綜上所述，存在符合條件的⊙Q，其圓心Q的坐標分別為Q₁（-1，0），Q₂（1，8），Q₃（-2，-1），Q4(-2-

2

，1)，Q5(-2+

2

，1)．
（Ⅱ）設點Q的坐標為（x₀，y₀）．
當⊙Q與兩坐標軸同時相切時，有y₀=±x₀．
由y₀=x₀，得x₀²+4x₀+3=x₀，即x₀²+3x₀+3=0，
∵△=3²-4×1×3=-3＜0
∴此方程無解．
由y₀=-x₀，得x₀²+4x₀+3=-x₀，
即x₀²+5x₀+3=0，
解得x0=

-5± 13

2

∴當⊙Q的半徑r=|x0|=|

-5± 13

2

|=

5± 13

2

時，⊙Q與兩坐標軸同時相切．（12分）

點評：此題是二次函數的綜合題，主要考查了一次函數、二次函數解析式的確定，三角形面積的求法，相似三角形的判定和性質以及直線與圓的位置關系等知識；需要注意的是（3）①所求的是⊙Q與坐標軸相切，并沒有說明是x軸，還是y軸，因此要將所有的情況都考慮到，以免漏解．