Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點G；E、F分別是C′D和BD上的點，線段EF交AD于點H，把△FDE沿EF折疊，使點D落在D′處，點D′恰好與點A重合．

（1）求證：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），（3） ．

【解析】

試題分析：（1）根據翻折變換的性質可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出結論；

（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，設AG=x，則GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的長，進而得出tan∠ABG的值；

（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根據tan∠ABG即可得出EH的長，同理可得HF是△ABD的中位線，故可得出HF的長，由EF=EH+HF即可得出結論．

試題解析：（1）∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，

∴∠ABG=∠ADE，

在△ABG與△C′DG中，

∵，

∴△ABG≌△C′DG（AAS）；

（2）∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，

∴GD=GB，

∴AG+GB=AD，

設AG=x，則GB=8-x，

在Rt△ABG中，

∵AB2+AG2=BG2，

即62+x2=（8-x）2，

解得x=，

∴tan∠ABG=；

（3）∵△AEF是△DEF翻折而成，

∴EF垂直平分AD，

∴HD=AD=4，

∴tan∠ABG=tan∠ADE=，

∴EH=HD×=4×=，

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，

∴HF是△ABD的中位線，

∴HF=AB=×6=3，

∴EF=EH+HF=+3=．