Question

如圖1，在第一象限內，直線y=mx與過點B（0，1）且平行于x軸的直線l相交于點A，半徑為r的⊙Q與直線y=mx、x軸分別相切于點T、E，且與直線l分別交于不同的M、N兩點．

（1）當點A的坐標為（ ，p）時，

①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___．

②如圖2，連接QT、QE，QE交MN于點F，當r=2時，試說明：以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形；

（2）在圖1中，連接EQ并延長交⊙Q于點D，試探索：對m、r的不同取值，經過M、D、N三點的拋物線y=ax²+bx+c，a的值會變化嗎？若不變，求出a的值；若變化．請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）1， ，60°；

（2）連接TM，ME，EN，ON，如圖，

∵OE和OP是⊙Q的切線，

∴QE⊥x軸，QT⊥OT，即∠QTA=90°，

而l∥x軸，

∴QE⊥MN，

∴MF=NF，

又∵當r=2，EF=1，

∴QF=2-1=1，

∴四邊形QNEM為平行四邊形，即QN∥ME，

∴NQ=NE，即△QEN為等邊三角形，

∴∠NQE=60°，∠QNF=30°，

在四邊形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，

∴∠TQE=360°-90°-90°-60°=120°，

∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，

∴T、Q、N三點共線，即TN為直徑，

∴∠TMN=90°，

∴TN∥ME，

∴∠MTN=60°=∠TNE，

∴以T、M、E、N為頂點的四邊形是等腰梯形；

（3）對m、r的不同取值，經過M、D、N三點的拋物線y=ax²+bx+c，a的值不會變化．理由如下：

連DM，ME，如圖，

∵DM為直徑，

∴∠DME=90°，

而DM垂直平分MN，

∴Rt△MFD∽Rt△EFM，

∴MF²=EF•FD，

設D（h，k），（h＞0，k=2r），則過M、D、N三點的拋物線的解析式為：y=a（x-h）²+k，

又∵M、N的縱坐標都為1，

當y=1，a（x-h）²+k=1，解得x₁=h-， x₂=h+，

∴MN=2 ，

∴MF= MN= ，

∴（ ）²=1•（k-1），

∵k＞1，

∴ =k-1，

∴a=-1．

解析:略