Question

已知關于x的一元二次方程x²-2x+a（x+a）=0的兩個實數根為x₁，x₂，若y=x₁+x₂+．
（1）當a≥0時，求y的取值范圍；
（2）當a≤-2時，比較y與-a²+6a-4的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）用根的判別式確定a的取值范圍，根據根與系數的關系用a表示y，確定y的取值范圍．
（2）根據a的取值范圍確定y及代數式-a²+6a-4的取值范圍，可比較其大�。�
解答：解：（1）由x²-2x+a（x+a）=0得，
x²+（a-2）x+a²=0
△=（a-2）²-4××a²
=-4a+4
∵方程有兩個實數根，
∴-4a+4≥0．
∴a≤1
∵a≥0
∴0≤a≤1
∴y=x₁+x₂+
=-4a+8+a
=-3a+8
∵-3≤0，
∴y隨a的增大而減小
當a=0時，y=8；a=1時，y=5
∴5≤y≤8．
（2）由（1）得a≤1，又a≤-2，
∴a≤-2
∴y=x₁+x₂+
=-4a+8-a
=-5a+8
當a=-2時，y=18；
∵-3≤0
∴y隨a的增大而減小．
∴當a≤-2時，y≥18
又∵-a²+6a-4=-（a-3）²+5≤5
而18＞5
∴當a≤-2時，y＞-a²+6a-4
點評：考查用根的判別式求取值范圍，一元二次方程根與系數的關系以及一次函數的性質的綜合運用．