Question

【題目】如圖，四邊形為菱形，點為對角線上的一個動點，連接并延長交射線于點，連接．

求證：；

是否存在這樣一個菱形，當時，剛好？若存在，求出的度數；若不存在，請說明理由；

若，且當為等腰三角形時，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或．

【解析】

試題首先證明△DCE≌△BCE得∠EDC＝∠EBC，根據DC∥AB得∠EDC＝∠AFD，從而說明結論；根據DE=EC得出∠EDC＝∠ECD，設∠EDC＝∠ECD＝∠CBE＝ x°，則∠CBF＝2x°，根據BE⊥AF得出x的值，然后計算；當F在AB延長線上時，∠EFB為鈍角，只能是BE=BF，通過三角形內角和求出未知數的值；當F在線段AB上時，∠EFB為鈍角只能是FE=FB，然后進行計算．

試題解析：（1）∵△DCE≌△BCE得∠EDC＝∠EBC 由DC∥AB得∠EDC＝∠AFD

∴∠AFD＝∠EBC

（2）∵DE=EC ∴∠EDC＝∠ECD

設∠EDC＝∠ECD＝∠CBE＝ x°，則∠CBF＝2x°

由BE⊥AF得2x+ x＝90° x＝30°

∴∠DAB＝60°

（3）分兩種情況：

①當F在AB延長線上時，∵∠EFB為鈍角

∴只能是BE=BF，設∠BEF＝∠BFE ＝ x°

可通過三角形內角形為180°得90+ x+ x+ x＝180，x＝30

∴∠EFB＝30°

②當F在線段AB上時，∵∠EFB為鈍角

∴只能是FE=FB，設∠BEF＝∠EBF＝ x° ，則有 ∠AFD= 2x°

可證得∠AFD＝∠DCE＝∠CBE 得x+ 2x＝90， x＝30 ∴∠EFB＝120°

綜上：∴∠EFB＝30°或120°