Question

甲：某供電局的電力維修工甲、乙兩人要到45千米遠的A地進行電力搶修．甲騎摩托車先行t（t≥0）小時后，乙開搶修車載著所需材料出發．
（1）若小時，搶修車的速度是摩托車的1.5倍，且甲、乙兩人同時到達，求摩托車的速度；
（2）若摩托車的速度是45千米/小時，搶修車的速度是60千米/小時，且乙不能比甲晚到，則t的最大值是多少？
乙：如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
求證：（1）△ABC≌△EAF；
（2）四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

甲：解：（1）設摩托車的速度是x千米/時，則搶修車的速度是1.5x千米/時，
由題意得：，
解之得x=40．
經檢驗，x=40千米/時是原方程的解且符合題意．
答：摩托車的速度為40千米/時．

（2）由題意得，
解之得t≤．
∴0≤t≤．
∴t最大值是（時）
答：乙最多只能比甲遲小時出發，即t的最大值為．

乙：證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF，且AB=2AF，
∴AF=CB，
而∠ACB=∠AFE=90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△ABC≌△EAF（HL）；

（2）∵△AFE≌△BCA，
∴AC=EF，
而△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．
分析：甲：（1）求的速度，路程明顯，一定是根據時間來列等量關系，本題的關鍵描述語是：甲、乙兩人同時到達．等量關系為：摩托車所用的時間-搶修車所用的時間=；
（2）關系式為：搶修車所用的時間+t≤摩托車所用的時間．
乙：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可證明AC=EF；
（2）根據（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．
點評：本題考查了分式方程的應用以及利用等邊三角形的性質證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質和等邊三角形的性質證明平行四邊形，本題用到的等量關系是：路程=速度×時間．