Question

在△ABC中AB=BC，∠ABC=20°，在AB邊上取一點M，使BM=AC．求∠AMC的度數．

Answer 1

分析：以BC為邊在△ABC外作正△KBC，連接KM，則可證明△KBM≌△BAC，∠BKM=20°，于是得到B、M、C在以K為圓心的圓上，從而∠BCM=

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∠BKM=10°，得∠AMC=30°．

解答：解：以BC為邊在△ABC外作正△KBC，連接KM，如圖
∵AB=BC，∠ABC=20°，
∴∠BAC=∠BCA=

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（180°-20°）=80°，
∵△KBC為等邊三角形，
∴BK=BC=BA，且∠KBM=20°+60°=80°，
而BM=AC，
∴△KBM≌△BAC，
∴∠BKM=20°，KM=BC=BK=KC，
∴B、M、C在以K為圓心的圓上，
∴∠BCM=

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∠BKM=10°，
∴∠AMC=∠BCM+∠ABC=10°+20°=30°．

點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了輔助線的作法和三角形全等的判定和性質．