Question

（2009•門頭溝區二模）已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，且OC²=AC•BC，則∠ABC的度數是    度．

Answer 1

【答案】分析：由于AB是⊙O的直徑，因此∠ACB為直角三角形．過C作AB的垂線，設垂足為D，根據三角形面積的不同表示方法，可得出AC•BC=AB•CD．由于AB=2OC，可據此求出OC=2CD．在Rt△OCD中，通過解直角三角形即可求出∠COD的度數，進而可求出∠ABC的度數．
解答：解：如圖1，過C作CD⊥AB于D．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴AC•BC=AB•CD．
∴OC²=AB•CD=2OC•CD，
∴OC=2CD．
在Rt△OCD中，OC=2CD，∴∠COD=30°．
∴∠ABC=（180°-30°）÷2=75°．
同理可求得圖2中，∠ABC=15°．
∴∠ABC的度數為15°或75°．
點評：本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形等知識的應用．