Question

已知如圖，∠B=32°，∠D=38°，AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD．
（1）求∠M的大小．
（2）當∠B、∠D為任意角時，試探索∠M與∠B、∠D間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，根據外角的性質定理可知∠5=∠1+∠B，∠6=∠4+∠D，∠BED=2∠1+∠B=2∠4+∠D，再根據三角形的內角和定理和四邊形的內角和定理，可得180°-∠5+180°-∠6+∠BED+∠M=360°，然后通過等量代換即可推出∠M的度數，
（2）根據（1）的推理思路即可推出∠M=

1

2

（∠B+∠D）．

解答：解：（1）如圖，∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，
∴∠5=∠1+∠B，∠6=∠4+∠D，∠BED=2∠1+∠B=2∠4+∠D，
∵四邊形FEGM的內角和為360°，
∴180°-∠5+180°-∠6+∠BED+∠M=360°，
∴∠M=∠5+∠6-∠BED=∠1+∠B+∠4+∠D-[（2∠1+∠B）+（2∠4+∠D）]×

1

2

=（∠B+
∠D）×

1

2

，
∵∠B=32°，∠D=38°，
∴∠M=35°；

（2）如圖，∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，
∵∠5是△ABF的外角，∠6是△CDG的外角，∠BED是△CDE的外角，
∴∠5=∠1+∠B，∠6=∠4+∠D，∠BED=2∠1+∠B=2∠4+∠D（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）
∵四邊形FEGM的內角和為360°，
∴180°-∠5+180°-∠6+∠BED+∠AMC=360°，
∴∠M=∠5+∠6-∠BED=∠1+∠B+∠4+∠D-[（2∠1+∠B）+（2∠4+∠D）]×

1

2

=（∠B+∠D）×

1

2

，
即∠M=

1

2

（∠B+∠D）．

點評：本題主要考查三角形的內角和定理、四邊形的內角和定理、角平分線的性質、外角的性質，關鍵在于熟練運用個性質定理推出相關角之間的關系．