Question

如圖，直線y=

3

3

x+1分別與兩坐標軸交于A，B兩點，點C從A點出發沿射線BA方向移動，速度為每秒1個單位長度．以C為頂點作等邊△CDE，其中點D和點E都在x軸上．半徑為3

3

-3的⊙M與x軸、直線AB相切于點G、F．
（1）直線AB與x軸所夾的角∠ABO=

30°

°；
（2）求當點C移動多少秒時，等邊△CDE的邊CE與⊙M相切？

Answer 1

分析：（1）根據直線解析式求出OA、OB的長度，再由∠ABO的正切值，可求出∠AOB的度數．
（2）設點C移動t秒后與⊙M相切，分兩種情況討論，①當CE在⊙M左側相切于點H；②當CE在⊙M右側相切于點H，用含t的式子表示出CE，建立方程，解出即可得出答案．

解答：解：（1）直線AB的解析式為y=

3

3

x+1，
令x=0，則y=1，令y=0，則x=-

3

，
∵tan∠ABO=

OA

OB

=

1

3

=

3

3

，
∴∠ABO=30°；

（2）設點C移動t秒后與⊙M相切，
①當CE在⊙M左側相切于點H，
連接MF、MG、MH，
∵AB、CE、BO均為⊙M的切線，
∴MF⊥AB，MH⊥CE，MG⊥BO，
∵∠ABO=30°，△CDE是等邊三角形，
∴∠BCE=90°，
∴四邊形CHMF為矩形，
∵MF=MH，
∴四邊形CHMF為正方形，
∴CH=MH=3

3

-3，
∵EH、EG為⊙M的切線，∠CED=60°，
∴∠HEM=60°，
∴HE=

1

3

MH=3-

3

，
∵CE=

1

3

BC=

1

3

（2+t），
∴

1

3

（2+t）=3

3

-3+3-

3

，
∴t=4；
②當CE在⊙M右側相切于點H，
由①證得：CH=MH=3

3

-3，
∵∠HEM=30°，
∴HE=

3

MH=9-3

3

，
∴

1

3

（2+t）=3

3

-3+9-3

3

，
∴t=6

3

-2．

點評：本題考查了圓的綜合，涉及了切線的性質、等邊三角形的性質、特殊角的三角函數值解答本題的關鍵是數形結合思想及分類討論思想的綜合運用，難度較大．