Question

如圖，直線y=-

3

3

x+

3

與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B．點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，0），將△PAB沿直線AB翻折得到△CAB，點(diǎn)C恰好為經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求∠BAO的度數(shù)；
（2）求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用銳角三角函數(shù)求出∠BOA的度數(shù)；
（2）利用翻折的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

3

x+

3

與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，
∴0=-

3

3

x+

3

，
∴x=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），
當(dāng)x=0，
∴y=

3

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，

3

），
∴BO=

3

，AO=3，
∴tan∠BOA=

3

3

，
∴∠BOA=30°；

（2）過點(diǎn)C作CD⊥y軸，
點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，0），
∴PO=1，
∵BO=

3

，
∴PB=

1 2+( 3 ) 2

=2，
∴tan∠POB=

1

3

=

3

3

，
∴∠POB=30°，
∴∠BPA=30°，
∴∠PBA=90°，
∵將△PAB沿直線AB翻折得到△CAB，
∴BC=PB=2，CD=PO=1，
∴BD=

3

，
∴DO=2

3

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，2

3

），
∵點(diǎn)C恰好為經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線的頂點(diǎn)．
∴二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）²+2

3

，
將（3，0）代入解析式得：
0=a（3-1）²+2

3

，
∴a=-

3

2

，
∴此拋物線的解析式為：y=-

3

2

（x-1）²+2

3

．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；圖形的翻折問題要找準(zhǔn)對應(yīng)量，進(jìn)行線段與角的等效轉(zhuǎn)移，利用直角三角形求解是正確解答本題的關(guān)鍵．