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我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，一條弧所對的圓周角的度數等于它所對的圓心角度數的一半．類似地，我們定義：頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓外角．
（1）判斷：圖中有沒有圓外角如果有，請用字母表示出來．
（2）運用所學的數學知識，探究：圓外角的度數與它所夾的弧所對的圓心角的度數有什么關系將你的發現，用文字表述出來，并說明理由．

解：（1）∠DPB是圓外角；
（2）圓外角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角的度數的差的絕對值的一半．
連接DA，OA，OB，OC，OD
∵∠BAD=∠BOD，∠ADC=∠AOC
∴∠BAD-∠ADC=∠BOD-∠AOC
∵∠DPB=∠BAD-∠ADC（外角定理）；
∴∠DPB=∠BOD-∠AOC．
分析：（1）由于∠DPB的兩邊與圓相交，所以∠DPB是圓外角．
（2）連接DA，OA，OB，OC，OD，根據圓周角定理進行分析即可．
點評：本題是對圓周角定理的拓展，利用了圓周角定理來求解．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，一條弧所對的圓周角的度數等于它所對的精英家教網圓心角度數的一半．類似地，我們定義：頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓外角．
（1）判斷：圖中有沒有圓外角如果有，請用字母表示出來．
（2）運用所學的數學知識，探究：圓外角的度數與它所夾的弧所對的圓心角的度數有什么關系將你的發現，用文字表述出來，并說明理由．（2007年唐洋鎮中學初三模擬考試數學試卷改編）

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•南京二模）情境一
我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
我們還知道：①圓心角的度數等于與它所對的弧的度數，②同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半．由此，小明得到一個正確的結論：圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半．如圖1，∠LMN=
1
2
LN
．
問題1  填空：如圖1，如果
LN
的度數是80，那么∠LMN的度數是
40
40
．
情境二
小明把頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，并繼續探索．
如圖2，∵∠PTQ是△OPT的一個外角，
∴∠PTQ=∠O+∠P．
∴∠O=∠PTQ-∠P．
∵圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半（已在情境一中證明），
∴∠PTQ=
1
2
PQ
，∠P=
1
2
RT
．
∴∠O=∠PTQ-∠P=
1
2
PQ
-
1
2
RT
=
1
2
（
PQ
-
RT
）．
經歷了上述探索、證明過程，小明發現了“圓外角的度數等于它所夾的較大弧的度數減去較小弧的度數所得差的一半”這個正確結論．
問題2  填空：如圖2，如果
PQ
=80°，
RT
=20°，那么∠O=
30
30
°．
問題3  類比情境二的內容，請你就角的頂點在圓內的情況進行探索．寫出你的發現，并證明你的結論．

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科目：初中數學 來源： 題型：

情境一

我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．我們還知道：①圓心角的度數等于與它所對的弧的度數，②同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半．由此，小明得到一個正確的結論：圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半．如圖1，∠LMN＝．

問題1  填空：如圖1，如果的度數是80，那么∠LMN的度數是______．

圖

1

情境二

小明把頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，并繼續探索．

如圖2，∵∠PTQ是△OPT的一個外角，

∴∠PTQ＝∠O＋∠P．

∴∠O＝∠PTQ －∠P．

∵圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半(已在情境一中

證明)，

∴∠PTQ＝，∠P＝．

∴∠O＝∠PTQ －∠P＝－＝(－)． 

經歷了上述探索、證明過程，小明發現了“圓外角的度數等于它所夾的較大弧的度數減去較小弧的度數所得差的一半”這個正確結論．

問題2  填空：如圖2，如果＝80°，＝20°，那么∠O＝______°．

問題3  類比情境二的內容，請你就角的頂點在圓內的情況進行探索．寫出你的發現，并證明你的結論．

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科目：初中數學 來源：2012年江蘇省南京市聯合體中考數學二模試卷（解析版） 題型：解答題

情境一
我們知道：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
我們還知道：①圓心角的度數等于與它所對的弧的度數，②同弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半．由此，小明得到一個正確的結論：圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半．如圖1，∠LMN=．
問題1  填空：如圖1，如果的度數是80，那么∠LMN的度數是______．
情境二
小明把頂點在圓外，并且兩邊都和圓相交的角叫圓外角，并繼續探索．
如圖2，∵∠PTQ是△OPT的一個外角，
∴∠PTQ=∠O+∠P．
∴∠O=∠PTQ-∠P．
∵圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半（已在情境一中證明），
∴∠PTQ=，∠P=．
∴∠O=∠PTQ-∠P=-=（）．
經歷了上述探索、證明過程，小明發現了“圓外角的度數等于它所夾的較大弧的度數減去較小弧的度數所得差的一半”這個正確結論．
問題2  填空：如圖2，如果=80°，=20°，那么∠O=______°．
問題3  類比情境二的內容，請你就角的頂點在圓內的情況進行探索．寫出你的發現，并證明你的結論．

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