Question

（1997•山西）如圖，EC是⊙O的直徑，且EC=2，作BC⊥AC于C，使BC=2，過B作⊙O的切線BA交CE的延長線于A，切點為D．
①求證：AD•AB=AO•AC；
②求AE及AD的長．

Answer 1

分析：①連接CD，易證得△AOD∽△ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AD•AB=AO•AC；
②首先設AD=x，AE=y，然后由相似三角形的對應邊成比例，得方程

x

y+2

=

1

2

，

y+1

x+2

=

1

2

，繼而求得答案．

解答：①證明：連接OD，
∵AB是⊙O的切線，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，
∵BC⊥AC，
∴∠C=90°，
∴∠ADO=∠C，
∵∠A是公共角，
∴△AOD∽△ABC，
∴AD：AC=AO：AB，
∴AD•AB=AO•AC；

②解：設AD=x，AE=y，
∵EC是⊙O的直徑，且EC=2，BC=2，
∴OE=OD=OC=1，
∵△AOD∽△ABC，
∴AD：AC=AO：AB=OD：BC=1：2，
∵AB與BC是⊙O的切線，
∴BD=BC=2，
∴

x

y+2

=

1

2

，

y+1

x+2

=

1

2

，
解得：x=

4

3

，y=

2

3

，
∴AD=

4

3

，AE=

2

3

．

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質以及切線長定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．