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如圖,已知點C周圍2180米范圍內為原始森林保護區,在點A測得點C在北偏東45°方向上,從點A向東走6000米到達點B,在點B測得C在北偏西60°方向上.
(1)求點C到直線AB的距離(結果保留根號);
(2)如果以AB為中軸線修一條寬為20米公路MN,那么公路MN會穿過原始森林保護區嗎?說明理由.(數學公式

解:(1)過點C作CD⊥AB于D,
由已知得:∠EAC=45°,∠FBC=60°,EA⊥AB,FB⊥AB,AB=6000米,
∴∠CAD=90°-∠EAC=45°,∠CBD=90°-∠FBC=30°,
設CD=x米,
在Rt△ACD中,∠CAD=∠ACD=45°,
∴AD=CD=x米,
在Rt△BCD中,BD==x(米),
∴x+x=6000,
解得:x=3000-3000(米);
∴點C到直線AB的距離為:3000-3000米;

(2)公路MN不會穿過原始森林保護區.
理由:∵CD=3000-3000=2196(米),
又∵以AB為中軸線修一條寬為20米公路MN,
∴點C到公路MN距離為:2196-10=2186(米),
∵2186>2180,
∴公路MN不會穿過原始森林保護區.
分析:(1)首先過點C作CD⊥AB于D,由已知得:∠EAC=45°,∠FBC=60°,EA⊥AB,FB⊥AB,AB=6000米,設CD=x米,利用三角函數的知識即可求得AD與BD的長,則可得方程:x+x=6000,解此方程即可求得答案;
(2)由以AB為中軸線修一條寬為20米公路MN,即可求得點C到公路MN距離,與2180比較,即可求得答案.
點評:本題主要考查了方向角問題.此題難度適中,解題的關鍵是構造直角三角形,再解直角三角形,注意數形結合思想與方程思想的應用.
練習冊系列答案
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(1)求點C到直線AB的距離(結果保留根號);
(2)如果以AB為中軸線修一條寬為20米公路MN,那么公路MN會穿過原始森林保護區嗎?說明理由.(
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=1.732

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