Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0為BC邊上一點，以0為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點D、點E，連接DE．
（1）當BD=3時，求線段DE的長；
（2）過點E作半圓O的切線，當切線與AC邊相交時，設交點為F．求證：△FAE是等腰三角形．

Answer 1

（1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵DB為直徑，
∴∠DEB=∠C=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴，
即，
∴DE=；

（2）證法一：連接OE，
∵EF為半圓O的切線，
∴∠DEO+∠DEF=90°，
∴∠AEF=∠DEO，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠A=∠EDB，
又∵∠EDO=∠DEO，
∴∠AEF=∠A，
∴△FAE是等腰三角形；

證法二：連接OE
∵EF為切線，
∴∠AEF+∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B，
∴∠AEF=∠A，
∴△FAE是等腰三角形．
分析：（1）由DB為直徑可以得到∠DEB=∠C=90°，由此可以證明Rt△DBE∽Rt△ABC有，把AC，BD，AB的值即可求得DE的值；
（2）由弦切角定理可得，∠B=∠FED，再由等角的余角相等知，∠A=∠FEA，故AF=EF．
點評：本題利用了勾股定理，直徑對的圓周角是直角，切線的概念和性質，相似三角形的判定和性質，同角或等角的余角相等等知識，綜合性比較強．