Question

如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．設F，H分別是B，D落在AC上的兩點，E，G分別是折痕CE，AG與AB，CD的交點．
（1）求證：四邊形AECG是平行四邊形；
（2）若AB=4cm，BC=3cm，求線段EF的長．

Answer 1

分析：（1）根據：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，證明AG∥CE，AE∥CG即可；
（2）解法1：在Rt△AEF中，運用勾股定理可將EF的長求出；
解法2，通過△AEF∽△ACB，可將線段EF的長求出．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
由題意，得∠GAH=

1

2

∠DAC，∠ECF=

1

2

∠BCA．
∴∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE．
又∵AE∥CG，
∴四邊形AECG是平行四邊形．

（2）解法1：在Rt△ABC中，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5．
∵CF=CB=3，
∴AF=2．
在Rt△AEF中，
設EF=x，則AE=4-x．
根據勾股定理，得AE²=AF²+EF²，
即（4-x）²=2²+x²．
解得x=

3

2

，即線段EF長為

3

2

cm．
解法2：
∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，
∴△AEF∽△ACB，
∴

EF

CB

=

AE

AC

．
∴

x

3

=

4-x

5

，
解得x=

3

2

，即線段EF長為

3

2

cm．

點評：本題考查圖形的折疊變化，關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．