Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B和D（4，）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找到點M，使得M到D、B的距離之和最小，求出點M的坐標；
（3）如果點P由點A出發沿線段AB以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q由點B出發沿線段BC以1cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設S=PQ²（cm²）．
①求出S與運動時間t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
②當S=時，在拋物線上存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點R的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，求出A、B、D的坐標代入即可；
（2）A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，求出直線BD的解析式，把拋物線的對稱軸x=1代入即可求出M的坐標；
（3）①根據勾股定理和已知條件，可以求得PB、BQ的長度，即可求出S與運動時間t之間的函數關系式（0≤t≤1）；
②假設存在點R，可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形，求出P、Q的坐標，再分為兩種種情況根據平行四邊形的性質求出R點的坐標，代入拋物線解析式，看能否使等式成立，能的話，這種情況就存在．
解答：解：（1）據題意可知：A（0，2），B（2，2），C（2，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B和D（4，），
∴，
∴，
∴y=-x2+x+2；

（2）點B關于拋物線的對稱軸x=1的對稱點為A．
連接AD，與對稱軸的交點即為M．
∵A（0，2）、D（4，），
∴直線AD的解析式為：y=-x+2，
當x=1時，y=，
則M（1，）；
（3）①由圖象知：PB=2-2t，BQ=t，AP=2t，
∵在Rt△PBQ中，∠B=90°，
∴S=PQ²=PB²+BQ²，
∴=（2-2t）²+t²，
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．
②當S=時，=5t²-8t+4
即20t²-32t+11=0，
解得：t=，t=＞1（舍）
∴P（1，2），Q（2，）．
∴PB=1．
若R點存在，分情況討論：
（i）假設R在BQ的右邊，如圖所示，這時QR=PB，RQ∥PB，
則R的橫坐標為3，R的縱坐標為，
即R（3，），代入y=-x2+x+2，左右兩邊相等，
故這時存在R（3，）滿足題意；
（ii）假設R在PB的左邊時，這時PR=QB，PR∥QB，
則R（1，）代入y=-x2+x+2，左右兩邊不相等，
則R不在拋物線上
綜上所述，存點一點R，以點P、B、Q、R為頂點的平行四邊形只能是□PQRB．
則R（3，）．
此時，點R（3，）在拋物線=-x2+x+2上．
點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，勾股定理，平行四邊形的性質，二次函數圖象上點的坐標特征等知識點，解此題的關鍵是綜合運用這些知識進行計算．此題綜合性強，是一道難度較大的題目．