Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，E是BC中點，點O在AB上，以OB為半徑的⊙O經過點AE上的一點M，分別交AB，BC于點F，G，連BM，此時∠FBM=∠CBM．
（1）求證：AM是⊙O的切線；
（2）當BC=6，OB：OA=1：2 時，求，AM，AF圍成的陰影部分面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OM，由AB=AC，且E為BC中點，利用三線合一得到AE垂直于BC，再由OB=OM，利用等邊對等角得到一對角相等，由已知角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OM與BC平行，可得出OM垂直于AE，即可得證；
（2）由E為BC中點，求出BE的長，再由OB與OA的比值，以及OB=OM，得到OM與OA的比值，由OM垂直于AE，利用直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，得到此直角邊所對的角為30度得到∠MAB=30°，∠MOA=60°，陰影部分的面積=三角形AOM面積-扇形MOF面積，求出即可．
解答：解：（1）連結OM，
∵AB=AC，E是BC中點，
∴BC⊥AE，
∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBC，
∵∠FBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
∴OM⊥AE，
∴AM是⊙O的切線；

（2）∵E是BC中點，
∴BE=BC=3，
∵OB：OA=1：2，OB=OM，
∴OM：OA=1：2，
∵OM⊥AE，
∴∠MAB=30°，∠MOA=60°，OA：BA=1：3，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE，
∴==，
∴OM=2，
∴AM==2，
∴S_陰影=×2×2-=2-π．
點評：此題考查了切線的判定，涉及的知識有：圓周角定理，弧，弦及圓心角之間的關系，平行線的性質，扇形面積求法，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．