Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，若動點P從點C開始，按照C→A→B的路徑運動，且運動速度為每秒2cm，設出發的時間為t秒.

（1）請判斷△ABC的形狀，說明理由

（2）當t為何值時，△BCP是以BC為腰的等腰三角形，求出t的值

（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，若P、Q兩點同時出發， 當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動，當t為何值時，P、Q兩點之間的距離為，直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（2）t=1.5或2.7或3；（3）當t為1秒或秒時，P、Q兩點之間的距離為．

【解析】

（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）由于動點P從點C開始，按C→A→B的路徑運動，故應分點P在AC上與AB上兩種情況進行討論；
（3）當P、Q兩點之間的距離為時，分四種情況討論：點P在AC上，點Q在BC上；點P、Q均在AB上運動，且點P在點Q的左側；點P、Q均在AB上運動，且點P在點Q的右側；點P在AB上，點Q在BC上，分別求得t的值并檢驗即可．

（1）△ABC是直角三角形．
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=25=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）如圖，當點P在AC上時，CP=CB=3，則t=3÷2=1.5秒；

如圖，當點P在AB上時，分兩種情況：

若BP=BC=3，則AP=2，
故t=（4+2）÷2=3秒；
若CP=CB=3，作CM⊥AB于M，則×AB×MC=×BC×AC，
×5×MC=×3×4，
解得CM=2.4，
∴由勾股定理可得PM=BM=1.8，即BP=3.6，
∴AP=1.4，
故t=（4+1.4）÷2=2.7秒．
綜上所述，當t=1.5、3或2.7 時，△BCP是以BC為腰的等腰三角形．
故答案為：t=1.5或2.7或3；

（3）①如圖，當點P在AC上，點Q在BC上運動時（0≤t≤2），
由勾股定理可得：（2t）2+t2=5，
解得t=1；

②如圖，當點P、Q均在AB上運動，且點P在點Q的左側時（3≤t＜4），
由題可得：12-2t-t=，
解得t= ；

③當點P、Q均在AB上運動，且點P在點Q的右側時（4＜t≤4.5），
由題可得：2t+t-12=，
解得t=，
∵t=＞4.5，
∴不成立，舍去．
④當點P在AB上，點Q在BC上時，PQ的長不合題意；
綜上所述，當t為1秒或秒時，P、Q兩點之間的距離為．