Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E為CD上一動點，AE交BD于F，過F作FH⊥AE于H，過H作GH⊥BD于G，下列有四個結論：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周長為定值，其中正確的結論有（ ）

A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，延長HF交AD于點L，連接CF，通過證明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需證明FC=FH，可證：AF=FH；
（2）由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；
（3）作輔助線，連接AC交BD于點O，證BD=2FG，只需證OA=GF即可，根據△AOF≌△FGH，可證OA=GF，故可證BD=2FG；（4）作輔助線，延長AD至點M，使AD=DM，過點C作CI∥HL，則IL=HC，可證AL=HE，再根據△MEC≌△MIC，可證：CE=IM，故△CEH的周長為邊AM的長，為定值．
解答：解：（1）連接FC，延長HF交AD于點L，
∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．

（2）∵FH⊥AE，F(xiàn)H=AF，
∴∠HAE=45°．

（3）連接AC交BD于點O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．

（4）延長AD至點M，使AD=DM，過點C作CI∥HL，則：LI=HC，
根據△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEH的周長為8，為定值．
故（1）（2）（3）（4）結論都正確．
故選D．
點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質，在解題過程中要多次利用三角形全等．