Question

如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的三個頂點A、C、D，且與AB相切于點A

（1）求證：BC為⊙O的切線；

（2）求∠B的度數(shù)．

Answer 1

考點：

切線的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．

分析：

（1）連結(jié)OA、OB、OC、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得BA=BC，然后根據(jù)“SSS”可判斷△ABC≌△CBO，則∠BOC=∠OAC=90°，于是可根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；

（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，則∠AOB=∠COB，由于菱形的對角線平分對角，所以點O在BD上，利用三角形外角性質(zhì)有∠BOC=∠ODC+∠OCD，則∠BOC=2∠ODC，

由于CB=CD，則∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根據(jù)∠BOC+∠OBC=90°可計算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC計算即可．

解答：

（1）證明：連結(jié)OA、OB、OC、BD，如圖，

∵AB與⊙切于A點，

∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴BA=BC，

在△ABC和△CBO中

，

∴△ABC≌△CBO，

∴∠BOC=∠OAC=90°，

∴OC⊥BC，

∴BC為⊙O的切線；

（2）解：∵△ABC≌△CBO，

∴∠AOB=∠COB，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴BD平分∠ABC，CB=CD，

∴點O在BD上，

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，

而OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠BOC=2∠ODC，

而CB=CD，

∴∠OBC=∠ODC，

∴∠BOC=2∠OBC，

∵∠BOC+∠OBC=90°，

∴∠OBC=30°，

∴∠ABC=2∠OBC=60°．

點評：

本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了全等三角形相似的判定與性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)．