Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分線交BC于D，E為AB上一點，DE=DC，以D為圓心，以DB的長為半徑畫圓．
求證：（1）AC是⊙D的切線；
（2）AB+EB=AC．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線．
（2）先證明△BDE≌△FCD（HL），根據全等三角形對應邊相等及切線的性質的AB=AF，得出AB+EB=AC．
解答：證明：（1）過點D作DF⊥AC于F；（1分）
∵AB為⊙D的切線，AD平分∠BAC，
∴BD=DF，（3分）
∴AC為⊙D的切線．（4分）

（2）∵AC為⊙D的切線，
∴∠DFC=∠B=90°，
在Rt△BDE和Rt△FCD中；
∵BD=DF，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL），（6分）
∴EB=FC．（8分）
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC．（10分）
點評：本題考查的是切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；及全等三角形的判斷，全等三角形的對應邊相等．