Question

施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖所示）．

（1）求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）隧道下的公路是雙向等寬行車道(正中間是一條寬1米的隔離帶)，其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；
（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB，使A、D點在拋物線上．B、C點在地面OM線上（如圖所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根鋼管AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．

Answer 1

（1）y=－x²+2x（0≤x≤12）；（2）不能；（3）15米

解析試題分析：（1）根據點P（6，6）為拋物線的頂點坐標可設這條拋物線的函數解析式為y=a(x－6)²+6，在根據圖象經過原點即可求得結果；
（2）把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代入（1）中的函數關系式計算，結果與5比較即可判斷.；
（3）設點A的坐標為（m，－m²+2m），即可得到OB=m，AB=DC=－m²+2m，再根據拋物線的軸對稱可得OB=CM=m，從而可以得到BC=12－2m，即AD=12－2m，即可得到L關于x的函數關系式，最后根據二次函數的性質即可求得結果.
（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴設這條拋物線的函數解析式為y=a(x－6)²+6，
∵把（0，0）代入解得a=－，    
∴這條拋物線的函數解析式為y=－(x－6)²+6，
即y=－x²+2x（0≤x≤12）；
（2）當x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)時，y=4.5＜5  
∴不能行駛寬2.5米、高5米的特種車輛；
（3）設點A的坐標為（m，－m²+2m），
∴OB=m，AB=DC=－m²+2m
根據拋物線的軸對稱可得OB=CM=m，
∴BC=12－2m，即AD=12－2m
∴L=AB+AD+DC=－m²+2m+12=－(m－3)²+15
∴當m=3，即OB=3米時，三根木桿長度之和L的最大值為15米．
考點：二次函數的應用
點評：二次函數的應用是初中數學的重點和難點，是中考的熱點，尤其在壓軸題中極為常見，要特別注意.