Question

施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖1所示）．
（1）求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）隧道下的公路是雙向行車道（正中間是一條寬1米的隔離帶），其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；
（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB，使A、D點在拋物線上．B、C點在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．

Answer 1

分析：（1）根據所建坐標系知頂點P和與X軸交點M的坐標，可設解析式為頂點式形式求解，x的取值范圍是0≤x≤12；
（2）根據對稱性當車寬2.5米時，x=3或9，求此時對應的縱坐標的值，與車高5米進行比較得出結論；
（3）求三段和的最大值須先列式表示三段的和，再運用性質求最大值，可設點A或點B的坐標表示三段的長度從而得出表達式．

解答：解：（1）∵M（12，0），P（6，6）．
∴設這條拋物線的函數解析式為y=a（x-6）²+6，
∵拋物線過O（0，0），
∴a（0-6）²+6=0，解得a=-

1

6

，
∴這條拋物線的函數解析式為y=-

1

6

（x-6）²+6，
即y=-

1

6

x²+2x．（0≤x≤12）

（2）當x=6-0.5-2.5=3（或x=6+0.5+2.5=9）時
y=4.5＜5
故不能行駛寬2.5米、高5米的特種車輛．

（3）設點A的坐標為（m，-

1

6

m²+2m）
則OB=m，AB=DC=-

1

6

m²+2m
根據拋物線的軸對稱，可得：OB=CM=m，
故BC=12-2m，即AD=12-2m
令L=AB+AD+DC=-

1

6

m²+2m+12-2m-

1

6

m²+2m=-

1

3

m²+2m+12=-

1

3

（m-3）²+15
故當m=3，即OB=3米時，三根木桿長度之和L的最大值為15米．

點評：本題考查通過建模把實際問題轉化為數學模型，這充分體現了數學的實用性．