【答案】
分析:(1)四邊形PECF的形狀是正方形,易證四邊形PECF是矩形,由角平分線的性質可知:PE=PF,所以四邊形PECF是正方形;
(2)先根據角平分線及線段垂直平分線的作法作出P點,過點P分別作PE⊥AC、PF⊥CB,垂足為E、F,由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF,再由全等三角形的性質即可判斷出△PAB是等腰直角三角形;
(3)如圖4,在Rt△PAB中,∠APB=90°,PA=PB,PA=m,所以AB=

PA=

,由(2)中的證明過程可知,Rt△AEP≌Rt△BFP,可得AE=BF,CE=CF,所以CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE,又PC=n,所以在正方形PECF中,CE=

PC=

n.所以CA+CB=2CE=

.進而求出△ABC的周長;
(4)因為∠1=∠2=∠3=∠4=45°,且∠ADC=∠PDB,所以△ADC∽△PDB,故

,即

,…①同理可得,△CDB∽△ADP,得到

,…②又PA=PB,則①+②得:

=

=

=

,所以這個值仍不變為

.
解答:
解:(1)四邊形PECF的形狀是正方形,理由如下:
過點P分別作PE⊥AC、PF⊥CB,垂足分別為E、F(如圖4)
∵∠ACB=90°,又由作圖可知PE⊥AC、PF⊥CB,
∴四邊形PECF是矩形,
又∵點P在∠ACB的角平分線上,
且PE⊥AC、PF⊥CB,
∴PE=PF,
∴四邊形PECF是正方形;
(2)證明:在Rt△AEP和Rt△BFP中,
∵PE=PF,PA=PB,∠AEP=∠BFP=90°,
∴Rt△AEP≌Rt△BFP,
∴∠APE=∠BPF,
∵∠EPF=90°,從而∠APB=90°.
又因為PA=PB,
∴△PAB是等腰直角三角形;
(3)如圖4,在Rt△PAB中,∠APB=90°,PA=PB,PA=m,
∴AB=

PA=

.
由(2)中的證明過程可知,Rt△AEP≌Rt△BFP,可得AE=BF,CE=CF,
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE,又PC=n,
∴在正方形PECF中,CE=

PC=

n.
∴CA+CB=2CE=

.
∴△ABC的周長為:AB+BC+CA=

+

;
(4)當邊AC、BC的長度變化時,

的值不變,

.理由如下:
如圖4,∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°,且∠ADC=∠PDB,
∴△ADC∽△PDB,故

,即

,…①
同理可得,△CDB∽△ADP,得到

,…②
又PA=PB,則①+②得:

=

=

=

.
∴這個值仍不變為

.
點評:本題考查的是相似形綜合題,涉及到角平分線及線段垂直平分線的作法及性質、平行線的性質、全等三角形的判定與性質及三角形的面積公式,涉及面較廣,難度較大.