Question

如圖，直線AB與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，將直線AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線A₁B₁．
（1）在圖中畫出直線A₁B₁．
（2）求出過線段A₁B₁中點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式．
（3）是否存在另一條與直線AB平行的直線y=kx+b，它與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，若存在，求此直線的函數(shù)解析式，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁、B₁，然后作直線A₁、B₁即可；
（2）先求出線段A₁B₁中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)直線AB求出k=2值，再根據(jù)平行線的k值相等設(shè)出與直線AB平行的直線的解析式，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立求解，根據(jù)非負(fù)數(shù)大于等于0求出判別式△＞0，直線與反比例函數(shù)解析式有兩個(gè)交點(diǎn)，所以此直線不存在．

解答：解：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)A₁（0，1），B₁（2，0），
如圖，直線A₁B₁即為所求；

（2）∵點(diǎn)A₁（0，1），B₁（2，0），
∴線段A₁B₁中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

1

2

），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

m

x

，

m

1

=

1

2

，
解得m=

1

2

，
反比例函數(shù)解析式為y=

1

2x

；

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
則

n=2 -m+n=0

，
解得

m=2 n=2

，
∴直線AB的解析式為y=2x+2，
∴與直線AB平行的直線為y=2x+b，
與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立得，

y=2x+b y= 1 2x

，
∴4x²+2xb-1=0，
∴△=b²-4ac=（2b）²-4×4×（-1）=4b²+16，
∵b²≥0，
∴4b²+16＞0，
∴△＞0，
∴直線與反比例函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴與直線AB平行與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)的問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩直線的平行問題，利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，以及兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題的求解，利用根的判別式判斷交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．