Question

已知△ABC中AB=AC，BC=8，其外接圓半徑為5，則△ABC的周長為（　　）

• A．8+4

  5

• B．8+8

  5

• C．8+4

  5

  或8+8

  5

• D．以上都不對

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，由于△ABC的形狀不能確定，故應(yīng)分△ABC是銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：當(dāng)△ABC是銳角三角形時，如圖1所示：
過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，
∵⊙O是△ABC的外接圓，
∴點(diǎn)O在直線AD上，
∵AB=AC，BC=8，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∵OB=5，
∴在Rt△OBD中，OD=

OB2-BD2

=

52-42

=3，
∴AD=OA+OD=5+3=8，
在Rt△ABD中，
AB=

AD2+BD2

=

82+42

=4

5

，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=4

5

+4

5

+8=8+8

5

；
當(dāng)△ABC是銳角三角形時，如圖2所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，
∵⊙O是△ABC的外接圓，
∴點(diǎn)O在直線AD上，
∵AB=AC，BC=8，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∵OB=5，
∴在Rt△OBD中，OD=

OB2-BD2

=

52-42

=3，
∴AD=OA-OD=5-3=2，
在Rt△ABD中，
AB=

AD2+BD2

=

22+42

=2

5

，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=2

5

+2

5

+8=8+4

5

．
∴△ABC的周長為：8+4

5

或8+8

5

．

點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．