Question

如圖，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜邊AC的垂直平分線交BC與D點，交AC于E點，連接BE．
（1）若BE是△DEC的外接圓⊙O的切線，求∠C的大小；
（2）當AB=1，BC=2時，求△DEC外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于DE垂直平分AC，可得兩個條件：①DE⊥AC，②E是AC的中點；由①得：∠DEC是直角，則DC是⊙O的直徑，若連接OE，則OE⊥BE，且∠BOE=2∠C；欲求∠C的度數，只需求出∠EBO、∠C的比例關系即可；由②知：在Rt△ABC中，E是斜邊AC的中點，則BE=EC，即∠EBO=∠C，因此在Rt△EBO中，∠EBO和∠EOB互余，即3∠C=90°，由此得解．
（2）根據AB、BC的長，利用勾股定理可求出斜邊AC的長，由（1）知：E是AC的中點，即可得到EC的值；易證得△DEC∽△ABC，根據所得比例線段，即可求得直徑CD的長，由此得解．
解答：解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，
∴DC為△DEC外接圓的直徑，
∴DC的中點O即為圓心；
連接OE，又知BE是圓O的切線，
∴∠EBO+∠BOE=90°；
在Rt△ABC中，E是斜邊AC的中點，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C；
又∵OE=OC，
∴∠BOE=2∠C，∠EBC+∠BOE=90°，
∴∠C+2∠C=90°，
∴∠C=30°．

（2）在Rt△ABC中，AC=，
∴EC=AC=，
∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∴DC=，
∴△DEC外接圓半徑為．
點評：此題主要考查了直角三角形的性質、切線的性質以及相似三角形的判定和性質，難度適中．