Question

如圖所示，⊙O的外切四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠A=∠B=90度．
（1）試說明OC⊥OD；（2）若CD=4cm，∠BCD=60°，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質和直角梯型的性質解答；
（2）過D作DE⊥BC于E，則ABED是矩形，然后根據直角三角形的性質利用勾股定理即可解答．

解答：解：（1）如圖，連接OD，
∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
∵∠ODC=

1

2

∠ADC，∠OCD=

1

2

∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD=

1

2

∠ADC+

1

2

∠BCD=90°，
∴OC⊥OD；

（2）過D作DE⊥BC于E，
則ABED是矩形，DE等于⊙O的直徑，
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠ECD=60°，CD=4cm，
∴CE=

1

2

CD=2cm，DE=

CD2-CE2

=2

3

cm．
∴⊙O的半徑為

3

cm．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．