Question

如圖，在邊長為4cm的正方形ABCD中，點E，F，G，H分別按A?B，B?C，C?D，D?A的方向同時出發，以1cm/s的速度勻速運動．在運動過程中，設四邊形EFGH的面積為S（cm²），運動時間為t（s）．
（1）試證明四邊形EFGH是正方形；
（2）寫出S關于t的函數關系式，并求運動幾秒鐘時，面積最小，最小值是多少？
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形EFGH的面積與正方形ABCD的面積比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點E，F，G，H在四條邊上的運動速度相同，
∴AE=BF=CG=DH，
在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
且AB=BC=CD=DA，
∴EB=FC=GD=HA，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=HG（全等三角形的對應邊相等），
∠AEH=∠BFE（全等三角形的對應角相等），
∴四邊形EFGH是菱形．（四條邊相等的四邊形是菱形），
又∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠FEH=180°-（∠BEF+∠AEH）=90°，
∴四邊形EFGH為正方形．（有一個角是直角的菱形是正方形）．

（2）∵運動時間為t（s），運動速度為1cm/s，
∴AE=tcm，AH=（4-t）cm，
由（1）知四邊形EFGH為正方形，
∴S=EH²=AE²+AH²=t²+（4-t）²
即S=2t²-8t+16=2（t-2）²+8，
當t=2秒時，S有最小值，最小值是8cm²；

（3）存在某一時刻t，使四邊形EFGH的面積與正方形ABCD的面積比是5：8．
∵S=S_{正方形ABCD}，
∴2（t-2）²+8=×16，∴t₁=1，t₂=3；
當t=1或3時，
四邊形EFGH的面積與正方形ABCD的面積的比是5：8．
分析：（1）由于四點的運動時間和速度都相同，因此AE=BF=CG=DH，BE=CF=GH=AH由此可得出正方形四個角的直角三角形都全等，那么可根據得出的邊相等先得出四邊形EHGF是菱形，然后根據得出的角相等，得出四邊形EHGF的內角是90°，以此來得出四邊形EFGH是正方形．
（2）求正方形的面積也就是求正方形邊長的平方，正方形EFGH的邊長正好是四角小直角三角形的斜邊，那么可用勾股定理用直角三角形的兩個直角邊來表示出正方形EFGH的邊長的平方，已知了E點的速度，可用時間表示出AE，BE由①中的全等三角形可知，BE=AH，于是可用含t的式子表示出正方形邊長的平方，也就得出了S與t的函數關系式．
（3）有大正方形的邊長，就可以求出大正方形的面積，然后用（2）中得出的正方形EFGH的面積函數關系式等于大正方形面積的，即可得出此時t的值．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定，正方形的判定與性質，二次函數的應用等知識點，用全等三角形來證得四邊形EFGH是正方形是解題的關鍵．