Question

【題目】已知兩條線段AC和BC，連接AB，分別以AB、BC為底邊向上畫等腰△ABD和等腰△BCE，∠ADB＝∠BEC＝α．

（1）如圖1，當α＝60°時，求證：△DBE≌△ABC；

（2）如圖2，當α＝90°時，且BC＝5，AC＝2．

①求DE的長；

②如圖3，將線段CA繞點C旋轉，點D也隨之運動，請求出C，D兩點之間距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①；②.

【解析】

（1）只要證明△DBA，△EBC都是等邊三角形即可解決問題；

（2）①只要證明△DBE∽△ABC，推出，即可解決問題；

②在△DEC中，根據三邊關系即可解決問題．

（1）如圖1．

∵DB＝DA，EB＝EC，∠BDA＝∠BEC＝60°，∴△ABD，△EBC都是等邊三角形，∴BD＝BA，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC．

（2）①∵△ABD，△BEC都是等腰直角三角形，∴，∠DBA＝∠EBC＝45°，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE∽△ABC，∴．

∵AC＝2，∴DE．

②如圖3中，連接CD．

由（2）可知DE．在Rt△BCE中，ECBC．

∵EC﹣DE≤DC≤EC+DE，∴DE．