Question

已知△ABC．
（1）如圖，AC⊥AB，點D為BC上一點，∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠CAD，
求證：AE∥BC．

（2）如圖，點P是BC上一點，且∠APC＜90°，以AP為一邊作正方形APMN，若NC⊥BC，則∠ACB=______°，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）證明：∵AC⊥AB，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠BAD+∠DAC=90°；
∵已知∠ABD=∠BAD，
∴∠ACB=∠DAC，
又∵已知∠EAC=∠CAD，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．

（2）∠ACB=45°；
證明：連接PN，并經PN為直徑作圓O，則正方形APMN為圓O的內接正方形；
∵NC⊥BC，∴點C在圓上，
∵PN為正方形的對角線，
∴∠ANP=45°，
∴∠ACB=45°（同弧對應的圓周角相等）．
分析：（1）由AC⊥AB，可得∠ABC+∠ACB=90°，∠BAD+∠DAC=90°；由∠ABD=∠BAD，可得：∠ACB=∠DAC，又因為∠EAC=∠CAD，所以可得∠EAC=∠ACB，即可證明AE∥BC．
（2）連接PN，并以PN為直徑作圓O，則正方形APMN為圓O的內接正方形；由NC⊥BC可得點C在圓上，據正方形的性質可得∠ANP=45°，由同弧對應的圓周角相等可知∠ACB=45°．
點評：本題考查了平行線的判定，正方形的性質及圓的性質，是一道考查學生綜合能力的好題，正確作出輔助線是解題的關鍵．