Question

如圖①，平面直角坐標系中，點A、B在x軸上，點C在第一象限，AC=BC，點D、E分別是AC、BC的中點．已知A、D兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），
（1）直接寫出下列各點的坐標：
B

（9，0）

；C

（3，8）

；E

（6，4）

；
（2）如圖②動點P從點A出發，沿A→D→E的方向向點E運動（不與E重合），同時動點M從點D出發，沿D→E→B的方向向點B運動（不與B重合），P、M運動的速度均為每秒1個單位，過點P的直線l與線段BC平行，交線段AB于點Q，設運動時間為t秒（t＞0），
①直接寫出t的取值：
當

5≤t＜11

時，四邊形PQBE為平行四邊形；
當

t=6

時，四邊形PQBM為菱形；
②求△BQM的面積S與運動時間t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設過點A、D的直線解析式為y=kx+b，把點A（-3，0）、D（0，4）代入即可求出直線AD的解析式，再由兩點間的距離公式求出線段AD的長，設出C點坐標，由AD=CD即可得出C點坐標，過點C作CH⊥x軸于點H，由AC=BC可知點D與點E，點A與點B關于直線CH對稱，故可得出B、E兩點的坐標；
（2）①先求出AB的長，再根據D、E分別是AC、BC的中點可知DE是△ABC的中位線，故可求出DE的長，由于PQ∥BC，故可得出當點P、點M在線段DE上時四邊形PQBE為平行四邊形，再由AD+DE=5+6=11，P、M運動的速度均為每秒1個單位即可得出當四邊形PQBE為平行四邊形時t的取值范圍；再由四邊形PQBM為菱形，PQ∥BE，故M、E重合，由此即可得出t的值；
②由于當0＜t＜5時，點P在AD上，點M在DE上；當5≤t≤6時，點P、點M均在DE上；當6＜t＜11時，點P在DE上，點M在EB上故應分三種情況進行討論．

解答：解：（1）設過點A、D的直線解析式為y=kx+b，
∵點A（-3，0）、D（0，4）代入得

-3k+b=0 b=4

，
解得

k= 4 3 b=4

，
∴直線AD的解析式為y=

4

3

x+4，
∴AD=

(-3)2+42

=5，
∵點D、E分別是AC、BC的中點，
∴CD=AD=5，
設點C（x，

4

3

x+4），則
CD=

x2+( 4 3 x)2

=

5

，
解得x₁=3或x₂=-3（舍去），
∴C（3，8），
如圖①，過點C作CH⊥x軸于點H，則直線CH的解析式為x=3，
∵AC=BC，
∴點D與點E，點A與點B關于直線CH對稱，
∵A（-3，0）、D（0，4），
∴B（9，0）；E（6，4），
故答案為：B（9，0）；C（3，8）；E（6，4）；

（2）①∵A（-3，0），B（9，0），
∴AB=|9+3|=12，
∵點D、E分別是AC、BC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB=6，
∵PQ∥BC，
∴當點P、點M在線段DE上時四邊形PQBE為平行四邊形，
∵AD+DE=5+6=11，P、M運動的速度均為每秒1個單位，
∴當5≤t＜11時，四邊形PQBE為平行四邊形；
∵四邊形PQBM為菱形，
∴PQ∥BM，
∵PQ∥BE，
∴M、E重合，
∵DE=6，
∴當t=6時，四邊形PQBM為菱形．
故答案為：5≤t＜11；t=6；
②由題意得：AC=BC=10，AB=12，DE為△ABC的中位線，
則DE∥AB，DE=6，AD=CD=BE=CE=5
當0＜t＜5時，點P在AD上，點M在DE上，AP=DM=t，
∵PQ∥BC，
∴∠AQP=∠ABC
∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，即

t

10

=

AQ

12

，則AQ=

6

5

t，BQ=12-

6

5

t，
∴S=

1

2

(12-

6

5

t)•4=-

12

5

t+24；
當5≤t≤6時，點P、點M均在DE上，PE=BQ=11-t，
則S=

1

2

(11-t)•4=-2t+22；
當6＜t＜11時，點P在DE上，點M在EB上，則BM=11-t，PE=BQ=11-t，
如圖②，過點M作MF⊥AB，垂足為F，則MF=

4

5

(11-t)
則S=

1

2

(11-t)•

4

5

(11-t)=

2

5

(11-t)2=

2

5

t2-

44

5

t+

242

5

．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、菱形的判定、平行四邊形的判定等相關知識，難度較大．