Question

已知關于x的一元二次方程mx²=2（1-m）x-m的兩實數根為x₁，x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m＞0，設y=x₁+x₂，當y取得最小值時，求相應m的值，并求出最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于關于x的一元二次方程mx²=2（1-m）x-m的兩實數根為x₁，x₂，所以二次項系數m≠0，并且方程的判別式△≥0，由此求出m的取值范圍；
（2）根據根與系數的關系可得出x₁+x₂的表達式，進而可得出y、m的函數關系式，根據函數的性質及（1）題得出的自變量的取值范圍，即可求出y的最小值及對應的m值．
解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程mx²=2（1-m）x-m的兩實數根為x₁，x₂，
∴m≠0，且△=b²-4ac=[-2（1-m）]²-4m²=4（1-2m）≥0，
1-2m≥0，
∴m≤且m≠0；

（2）∵x₁，x₂為mx²=2（1-m）x-m的兩根，
∴y=x₁+x₂==-2，
又∵0＜m≤；
∴y隨m的增大而減小，
∴當m=時，y取最小值，此時y=4-2=2．
點評：此題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數的關系及反比例函數的性質，綜合性較強，難度中等．牢記反比例函數的性質是解答（2）題的關鍵．