Question

（2004•河南）如圖，邊長為3的正△ABC中，M、N分別位于AC、BC上，且AM=1，BN=2．過C、M、N三點的圓交△ABC的一條對稱軸于另一點0．求證：點O是正△ABC的中心．

Answer 1

【答案】分析：連接AO，由于正三角形ABC的邊長為3，故求得AM=CN=1，由CO是正△ABC的一條對稱軸?∠ACO=∠NCO，由圓周角定理知，MO=NO，又由圓內接四邊形的外角等于它的內對角知，∠AMO=∠CNO，可由SAS證得，△AMO≌△CNO?∠MAO=∠NCO=30°，即點O是正△ABC兩個內角平分線的交點，所以點O是正△ABC的中心．
解答：證明：如圖，連接AO，（1分）
在△AMO和△CNO中，AM=CN=1，
∵CD是正△ABC的一條對稱軸，
∴∠ACO=∠NCO．
∴MO=NO．
又∠AMO=∠CNO，
∴△AMO≌△CNO．（5分）
∴∠MAO=∠NCO=30°．
∴O是正△ABC兩個內角平分線的交點．
∴點O是正△ABC的中心．（7分）
點評：本題利用了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質求解．