Question

如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作DE⊥AC于E，可得結論：DE是⊙O的切線．問：
（1）若點O在AB上向點B移動，以O為圓心，OB長為半徑的圓仍交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結論是否成立？請說明理由；
（2）如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時，⊙O與AC相切？

Answer 1

解：（1）結論成立．理由如下：
如圖，連接OD；
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD∥AC；
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切線．

（2）當圓心O在AB上距B點為3x=時，⊙O與AC相切．
如圖所示，⊙O與AC相切于F，⊙O與AB相交于G．則OF⊥AC；
在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5；
設OF=3X，AO=5X，則OB=OG=OF=3X，AG=2X，
∴8x=AB=5，
∴x=，此時OB=3x=時，
即當圓心O在AB上距B點為3x=時，⊙O與AC相切．
分析：（1）結論仍然成立．在連接OD后，因為OD=OB，AB=AC，則有∠ABC=∠ACB=∠ODB，所以OD和AC永遠平行；又DE和AC垂直，所以DE和OD也垂直，即DE是⊙O的切線．
（2）當⊙O與AC相切時，若假設切點為F，⊙O與AB相交于G，則OF和AC垂直，即△AOF是一個以AO為斜邊的直角三角形；從而根據三角函數求得OF，OB的長，即可確定圓心O在AB的什么位置時，⊙O與AC相切．
點評：此題主要考查了切線的判定，以及圓中一些基本性質．