Question

如圖，已知雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

4

x相交于A、B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線y=

k

x

上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線y=

k

x

于點E，交BD于點C．
（1）若點D坐標是（-8，0），求A、B兩點坐標及k的值．
（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．
（3）設直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

Answer 1

分析：（1）由BD∥y軸，可知B點與D點的橫坐標相等，將x=-8代入直線y=

1

4

x，即可求出點B的坐標；再根據A點與B點關于原點對稱，求出A點坐標；
（2）先由B是CD中點，D點縱坐標為0，可知B點縱坐標是C點縱坐標的

1

2

，即為-

n

2

，又B點在直線y=

1

4

x上，把y=-

n

2

代入直線y=

1

4

x，得B點橫坐標為-2n，從而可用含n的代數式表示k及E點的坐標，然后根據四邊形OBCE的面積=矩形ODCN面積-直角三角形ODB的面積-直角三角形ONE的面積，列出關于n的方程，解方程求出n的值，即可得出C、M兩點的坐標，最后運用待定系數法求出直線CM的解析式；
（3）由于點M（m，n）在雙曲線y=

k

x

上，得出k=mn，再聯立雙曲線y=

mn

x

與直線y=

1

4

x，求出A、B兩點的坐標，由MA=pMP，MB=qMQ求出p、q，從而得出p-q的值．

解答：解：（1）將x=-8代入直線y=

1

4

x，
得y=-2．
∴點B坐標（-8，-2），--（1分）
將點B坐標（-8，-2）代入y=

k

x

得：
k=xy=16．--（2分）
∵A點是B點關于原點的對稱點，
∴A點坐標為（8，2）．--（3分）

（2）∵B是CD中點，C點縱坐標為-n，
∴B點縱坐標為-

n

2

，
把y=-

n

2

代入直線y=

1

4

x，得B點橫坐標為-2n，
∴D點坐標（-2n，0），B點坐標（-2n，-

n

2

），C點坐標（-2n，-n）．--（4分）
∴k=（-2n）×（-

n

2

）=n²．
將E點縱坐標-n代入方程y=n²/x，得其橫坐標-n．
∵四邊形OBCE的面積=矩形ODCN面積-Rt△ODB的面積-Rt△ONE的面積，
∴4=2n²-

1

2

n²-

1

2

n²，
解得n=2．--（5分）
所以C點坐標（-4，-2），M點坐標（2，2）--（6分）
設直線CM的解析式為y=kx+b，則

-4k+b=-2 2k+b=2

，
解得

k= 2 3 b= 2 3

．
∴直線CM解析式為y=

2

3

x+

2

3

．--（7分）

（3）將點M的坐標（m，n）代入雙曲線方程得：k=mn．
雙曲線y=

mn

x

與直線y=

1

4

x聯立，
解得A點坐標（2

mn

，

mn

2

），B點坐標（-2

mn

，-

mn

2

），
∴MA=

(2 mn) -m)2+( mn 2 -n)2

，
MP=

MH2+HP2

，
∵MA=pMP，MB=qMQ，
∴p=

MA

MP

=

2 mn -m

m

，--（9分）
q=

MB

MQ

=

2 mn +m

m

，--（11分）
∴p-q=

2 mn -m

m

-

2 mn +m

m

=-2．--（12分）

點評：此題綜合考查了反比例函數，正比例函數等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．