Question

結合“兩綱教育”，某中學600名學生參加了“讓青春飛揚”知識競賽．競賽組委會從中隨機抽取了部分學生的成績（得分都是整數，最高分98分）作為樣本進行統計分析，并繪制成抽樣分析分類統計表和頻率分布直方圖（如表和圖，部分數據缺失）．試根據所提供的信息解答下列問題：
表1：抽樣分析分類統計表

成績范圍	x＜60	60≤x＜80	x≥80
成績等第	不合格	合格	優良
人數		40
平均成績	57	a	b

（1）本次隨機抽樣調查的樣本容量是______；
（2）試估計全校所有參賽學生中成績等第為優良的學生人數；
（3）若本次隨機抽樣的樣本平均數為76.5，又表1中b比a大15，試求出a、b的值；
（4）如果把滿足p≤x≤q的x的取值范圍記為[p，q]，表1中a的取值范圍是______．
（A）[69.5，79.5]（B）[65，74]
（C）[66.5，75.5]（D）[66，75]．

Answer 1

解：（1）成績合格的頻率為：0.2+0.3=0.5，
所以，樣本容量為：40÷0.5=80；

（2）成績位于79.5～89.5的頻率為1-（0.1+0.2+0.3+0.15）=0.25．
成績為優良的頻率為：0.25+0.15=0.4，
所以，全校所有參賽學生中成績等第為優良的學生人數為600×0.4=240（人）；

（3）本次隨機抽樣分析成績不合格的人數為80×0.1=8（人），
成績優良的人數為80×0.4=32（人），
依據題意，可得方程組，
解得；
故所求a、b的值分別為72，87；

（4）成績位于59.5～69.5的人數為：80×0.2=16，
成績位于69.5～79.5的人數為：80×0.3=24，
∵得分都是整數，
∴a≥==66，
a≤==75，
所以，a的取值范圍是66≤a≤75，
即[66，75]．
故答案為D．
分析：（1）根據直方圖求出成績合格的頻率，再根據成績合格的人數是40，列式計算即可求出樣本容量；
（2）根據頻率之和為1求出成績等第為優良的頻率，然后乘以總人數600，計算即可得解；
（3）先求出不合格與成績優良的人數，然后根據加權平均數的求解與b比a大15列方程組，然后解方程組即可求出a、b的值；
（4）先根據頻率求出成績合格的兩組的人數，然后分別取兩組的最低分與最高分，根據平均數的求法求出a可能的最小值與最大值，從而得解．
點評：本題考查了對頻數分布直方圖與頻數分布表的信息獲取能力，根據兩個圖表求出成績合格的頻率與頻數是解題的關鍵，（4）中考慮利用成績的最低值與最高值分別求出a可能的最小值與最大值進行求解是本問的難點，不容易考慮得到．