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如圖所示,在直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,CD=BC,E是CD上一點,BE⊥AC.
(1)求證:AD=EC;
(2)當點E在CD上什么位置時,AB=BE成立?并說明理由.

【答案】分析:①要求證AD=EC,因為AD、EC分別為直角△ADC和直角△ECD的直角邊,所以只要能證明兩個直角三角形全等即可.
②假設AB=BE成立,借助輔助線證明△ABF和△BEC全等,運用矩形、全等三角形的性質判定CE與CD的關系即可.
解答:①證明:∵AC⊥BE,
∴∠BEC+∠ACE=∠EBC+∠ACB,
∴∠ACE=∠EBC,
又∵在直角梯形ABCD中:AD∥BC,∠BCD=90°,
在直角△ACD和直角△BEC中:BC=CD,∠BCD=∠ADC,
∴△ACD≌△BEC(AAS),
∴AD=EC;

②當E在CD的中點位置時,AB=BE.
過A作AF⊥BC,∵AD∥BC,∠BCD=90°,
∴∠AFC=90°,AD=FC,AF=DC,
由(1)可知AC=BE,AD=EC=CD,又CD=BC,
∴FC=BC,又AF⊥BC,
∴AB=AC=BE.
∴當E在CD的中點位置時,AB=BE成立.
點評:本題主要考查了直角梯形的性質,直角三角形的相關知識,全等三角形的判定和性質,綜合運用了全等三角形的性質和判定,此類題注意已證明的結論的充分運用.
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