Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，點E、F分別是邊AC、BC上的動點，過點E作ED⊥AB于點D，過點F作FG⊥AB于點G，DG的長始終為2；
（1）當AD=3時，求DE的長；
（2）當點E、F在邊AC、BC上移動時，設AD=x，FG=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）在點E、F移動過程中，△AED與△CEF能否相似，若能，求AD的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據勾股定理先求出BC的長，再通過證明△ADE∽△ACB，根據相似三角形的性質得出DE的長；
（2）通過證明△BGF∽△BCA，根據相似三角形的性質得出y關于x的函數解析式；
（3）由（1）（2）可得：，，分∠A=∠CEF，∠A=∠CFE兩種情況求出△AED與△CEF相似時AD的長．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴BC=8（1分）
∵ED⊥AB∴∠ADE=∠ACB=90°
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB（1分）
∴∴
∴DE=4（1分）

（2）∵FG⊥AB∴∠BGF=∠BCA=90°
又∵∠B=∠B
∴△BGF∽△BCA（1分）
∴∴（1分）
∴（）（2分）

（3）由（1）（2）可得：，
∴，（1分）
當∠A=∠CEF時，，解得：；（2分）
當∠A=∠CFE時，，解得：；（2分）
∴當AD的長為或，△AED與△CEF相似．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理以及一次函數的綜合應用等知識，綜合性強，難度較大．