Question

【題目】如圖△ABC和△DEC都是等腰三角形，點C為它們的公共直角頂點，連AD、BE，F為線段AD的中點，連CF．

（1）如圖1，當D點在BC上時，BE與CF的數量關系是　 　．

（2）如圖2，把△DEC繞C點順時針旋轉90°，其他條件不變，問（1）中的關系是否仍然成立？請說明理由．

（3）如圖3，把△DEC繞C點順時針旋轉一個鈍角，其他條件不變，問（1）中的關系是否仍然成立？如成立請證明，如果不成立，請寫出相應的正確的結論并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的關系是仍然成立，理由見解析；（3）（1）中的關系是仍然成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據“SAS”證明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因為AD=2CF，從而BE=2CF；

（2）由點F是AD中點，可得AD=2DF，從而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，從而BE=2CF；

（3）延長CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可證△CDF≌△GAF，再證明△BCE≌△ACG，從而BE=CG=2CF成立.

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CD=CE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，在Rt△ACD中，點F是AD中點，

∴AD=2CF，

∴BE=2CF，

故答案為BE=2CF；

（2）（1）中的關系是仍然成立，

理由：∵點F是AD中點，

∴AD=2DF，

∴AC=AD+CD=2DF+CD，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，

∴AC=BC，CD=CE，

∴BC=2DF+CE，

∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），

∵CF=DF+CD=DF+CD，

∴BE=2CF；

（3）（1）中的關系是仍然成立，理由：如圖3，

延長CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，

∵點F是AD中點，

∴AF=DF，

在△CDF和△GAF中，，

∴△CDF≌△GAF，

∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，

∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，

∴∠CAG=∠BCE，

連接BE，

在△BCE和△ACG中，，

∴△BCE≌△ACG，

∴BE=CG=2CF，

即：BE=2CF．