Question

已知關于x的一元二次方程2x²+4x+m=0
（1）x=1是方程的一個根，求方程的另一個根；
（2）若x₁，x₂是方程的兩個不同的實數根，且x₁和x₂滿足x₁²+x₂²+2x₁x₂-x₁²x₂²=0，求m的值．

Answer 1

分析：（1）本題是對根與系數關系的考查，利用根與系數的關系可以求出另外一個根，也可以直接代入求解，
（2）x₁²+x₂²+2x₁x₂-x₁²x₂²=0，即（x₁+x₂）²-（x₁x₂）²=0，把兩根的和與積代入，即可得到關于m的方程，從而求得m的值．

解答：解：（1）設方程的另一個根是x₁，那么x₁+1=-2，
∴x₁=-3；
（2）∵x₁、x₂是方程的兩個實數根，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=

m

2

，
又∵x₁²+x₂²+2x₁x₂-x₁²x₂²=0，
∴（x₁+x₂）²-（x₁x₂）²=0，
即4-

m2

4

=0，得m=±4，
又∵△=4²-8m＞0，得m＜2，
∴取m=-4．

點評：一元二次方程根與系數的關系為，x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．本題易錯的地方是忽略了△＞0．