Question

如圖，半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，點C的坐標為（1，0）．若拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出點P的坐標；若不存在說明理由；
（3）若點M是拋物線（在第一象限內的部分）上一點，△MAB的面積為S，求S的最大（小）值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求拋物線的解析式．因為已知A（3，0），所以需要求得B點坐標．如答圖1，連接OB，利用勾股定理求解；
（2）由∠PBO=∠POB，可知符合條件的點在線段OB的垂直平分線上．如答圖2，OB的垂直平分線與拋物線有兩個交點，因此所求的P點有兩個，注意不要漏解；
（3）如答圖3，作MH⊥x軸于點H，構造梯形MBOH與三角形MHA，求得△MAB面積的表達式，這個表達式是關于M點橫坐標的二次函數，利用二次函數的極值求得△MAB面積的最大值．
解答：解：（1）如答圖1，連接CB．
∵BC=2，OC=1
∴OB==
∴B（0，）
將A（3，0），B（0，）代入二次函數的表達式
得，解得，
∴y=-x²+x+．

（2）存在．
如答圖2，作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P₁，P₂．
∵B（0，），O（0，0），
∴直線l的表達式為y=．代入拋物線的表達式，
得-x²+x+=；
解得x₁=1+或x₂=1-，
∴P₁（1-，）或P₂（1+，）．

（3）如答圖3，作MH⊥x軸于點H．
設M（x_m，y_m），
則S_△MAB=S_梯形MBOH+S_△MHA-S_△OAB
=（MH+OB）•OH+HA•MH-OA•OB
=（y_m+）x_m+（3-x_m）y_m-×3×
=x_m+y_m-
∵y_m=-x_m²+x_m+，
∴S_△MAB=x_m+（-x_m²+x_m+）-
=x_m²+x_m
=（x_m-）²+
∴當x_m=時，S_△MAB取得最大值，最大值為．
點評：本題是二次函數綜合題，重點考查二次函數相關性質、圓的性質、垂直平分線/勾股定理、面積求法等知識點．第（2）問中注意垂直平分線與拋物線的交點有兩個，不要漏解；第（3）問中，重點關注圖形面積的求法以及求極值的方法．本題考查知識點較多，要求同學們對所學知識要做到理解深刻、融會貫通、靈活運用，如此方能立于不敗之地．