Question

（2010•寧波）十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（1）根據上面多面體模型，完成表格中的空格：

多面體	頂點數（V）	面數（F）	棱數（E）
四面體	4	4
長方體	8	6	12
正八面體		8	12
正十二面體	20	12	30

你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是______．
（2）一個多面體的面數比頂點數大8，且有30條棱，則這個多面體的面數是______．
（3）某個玻璃鉓品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，設該多面體外表三角形的個數為x個，八邊形的個數為y個，求x+y的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察可得頂點數+面數-棱數=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面數；
（3）得到多面體的棱數，求得面數即為x+y的值．
解答：解：（1）四面體的棱數為6；正八面體的頂點數為6；關系式為：V+F-E=2；

多面體	頂點數（V）	面數（F）	棱數（E）
四面體	4	4	6
長方體	8	6	12
正八面體	6	8	12
正十二面體	20	12	30

（2）由題意得：F-8+F-30=2，解得F=20；

（3）∵有24個頂點，每個頂點處都有3條棱，兩點確定一條直線；
∴共有24×3÷2=36條棱，
那么24+F-36=2，解得F=14，
∴x+y=14．
點評：本題考查多面體的頂點數，面數，棱數之間的關系及靈活運用．