Question

在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心，旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B．
（1）求證：MA=MB；
（2）連接AB，探究：在旋轉三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，可得四邊形OEBF是矩形，根據三角形的中位線定理可得ME=MF，再根據同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角邊角”證明△AME和△BMF全等，根據全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得AE=BF，設OA=x，表示出AE為2-x，即BF的長度，然后表示出OB=2+（2-x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍表示出AB的長度，然后根據三角形的周長公式列式判斷出△AOB的周長隨AB的變化而變化，再根據二次函數的最值問題求出周長最小時的x的值，然后解答即可．
解答：（1）證明：如圖，過點M作ME⊥OP于點E，作MF⊥OQ于點F，
∵∠O=90°，
∴四邊形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中點，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=OQ=2，MF=OP=2，
∴ME=MF，
∴四邊形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；

（2）解：有最小值，最小值為4+2．
理由如下：根據（1）△AME≌△BMF，
∴AE=BF，
設OA=x，則AE=2-x，
∴OB=OF+BF=2+（2-x）=4-x，
在Rt△AME中，AM==，
∵∠AMB=90°，MA=MB，
∴AB=AM=•=，
△AOB的周長=OA+OB+AB=x+（4-x）+=4+，
所以，當x=2，即點A為OP的中點時，△AOB的周長有最小值，最小值為4+，
即4+2．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角的性質，三角形的中位線定理，勾股定理的應用，以及二次函數的最值問題，作出輔助線，把動點問題轉化為固定的三角形，構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．