Question

12．如圖，已知拋物線y=-x²-2x+3與坐標軸分別交于A，B，C三點，在拋物線上找到一點D，使得∠DCB=∠ACO，則D點坐標為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）或（-4，-5）．

Answer 1

分析 求出點A、B、C的坐標，當D在x軸下方時，設直線CD與x軸交于點E，由于∠DCB=∠ACO．所以tan∠DCB=tan∠ACO，從而可求出E的坐標，再求出CE的直線解析式，聯立拋物線即可求出D的坐標，再由對稱性即可求出D在x軸上方時的坐標．

解答 解：令y=0代入y=-x²-2x+3，
∴x=-3或x=1，
∴OA=1，OB=3，
令x=0代入y=-x²-2x+3，
∴y=3，
∴OC=3，
當點D在x軸下方時，
∴設直線CD與x軸交于點E，過點E作EG⊥CB于點G，
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∴BG=EG，OB=OC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3$\sqrt{2}$，
設EG=x，
∴CG=3$\sqrt{2}$-x，
∵∠DCB=∠ACO．
∴tan∠DCB=tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EG}{CG}=\frac{1}{3}$，
∴x=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴BE=$\sqrt{2}$x=$\frac{3}{2}$，
∴OE=OB-BE=$\frac{3}{2}$，
∴E（-$\frac{3}{2}$，0），
設CE的解析式為y=mx+n，交拋物線于點D₂，
把C（0，3）和E（-$\frac{3}{2}$，0）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=n}\\{0=-\frac{3}{2}m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$
∴直線CE的解析式為：y=2x+3，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+3}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$
解得：x=-4或x=0，
∴D₂的坐標為（-4，-5）
設點E關于BC的對稱點為F，
連接FB，
∴∠FBC=45°，
∴FB⊥OB，
∴FB=BE=$\frac{3}{2}$，
∴F（-3，$\frac{3}{2}$）
設CF的解析式為y=ax+b，
把C（0，3）和（-3，$\frac{3}{2}$）代入y=ax+b
$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{\frac{3}{2}=-3a+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線CF的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+3，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$
解得：x=0或x=-$\frac{5}{2}$
∴D₁的坐標為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）
故答案為：（-$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）或（-4，-5）

點評 本題考查二次函數的綜合問題，解題的關鍵是根據對稱性求出相關點的坐標，利用直線解析式以及拋物線的解析式即可求出點D的坐標，本題屬于中等題型．